[스크랩] 행렬이란 무엇인가?- 선형대수.벡터와의 관계

 

선형대수란 무엇인가? [행렬.벡터와의 관계]

 

-재능있는 대한민국 고딩들을 위해-

 

 

선형대수란 말그대로 선형대수다. 선형은 곧 직선이요 대수는 곧 방정식이다. 곧, 직선방정식이다. 학문으로서의 선형대수란  직선방정식 패턴모양과 관련된 모든 것을 다루는 학문이라 할 수있다.

 

그럼 왜 사람에 따라 선형대수를 행렬로 이해하거나 또는 벡터로 이해하게 될까?

그것은 직선방정식인 선형대수가 필연적으로 행렬과 벡터로 풀어 쓸수 있기 때문이다.

이 필연적이랄 수있는 선형대수[직선방정식]와 행렬/ 벡터와의 관계를 이해하지 못하면 선형대수가 뜬구름 잡는 소리로 밖에 들릴 수없어, 공부하는 사람들이 개념정립하기가 난처하다.

 

행렬의 곱정의에 따라 누구나 곱행렬을 구할순 있지만, 그 의미가 무엇인지 모른데서야 이건 수학을 배우는게 아니라 암기과목을 배우는 거랑 매한가지가 되여 응용력을 기를수 없게된다.

 

이글은 이런 어려움을 겪는 행렬을 처음 접하는 고딩과정의 학생이나 선형대수를 처음 접하는 사람들이 선형대수의 핵심개념을 이해하는데 도움이 됐으면하는 바람으로 몇자 개인적 비망록 겸 적어본 것이다. 사실 고딩들에겐 이글도 좀 버거울 수있을지 모르겠다.

 

더불어, 선형대수를 다른 관점에서 접근한 결과 우리는 선형대수가 단순히 직선방정식에 머무는 것이 아니라 벡터와 밀접한 관련을 맺는 다는 것을 알수 있게 되고, 연립 선형방정식을 풀기위한 새로운 수학적 테크닉으로 도입한 행렬이 도구로써의 역할을 떠나 오히려 선형대수의 본질을 이해할 수있는 척도로 까지 발전했다는 점을 인식해보자는 의도로 작성한 글이다.

 

따라서 이글의 목적에 맞게 선형대수의 개념이해에 중점을 두어 설명할 것이므로, 역행렬정도까지 소개하고 글을 맺고자 한다.

 

1. 선형대수의 새로운 접근

  ㅇ 수학에서의 새로운 접근이란?

창의력과 상상력이 힘을 발휘하는 자유로운 세계이며 추상의 세계이자 수학 그 자체랄 수있는 본질에 접근하는 것.  왜 수학을 자유와 상상의 세계라고 하는지 조금이나마 실감할 수있을까?

 

이런 쪽에서 많은 사고훈련을 하는 것이 곧 수학의 최전선에 이르는 지름길이라 할수있다. 그렇다고 글쓴이가 수학의 최전선에 있다는 건 물론 당연 확실히 아니지만, 자라나는 고딩등 학생들은 이런 노력을 마다해선 안된다. 과학자로서 빠르게 과학의 최전선에 도달해서 세계의 머리들과 각축을 벌일려면, 어릴때부터 이런식의 훈련을 해야한다는 것 확실하게 말할 수있다.

 

우리의 과학교육도 하급기술자 양성교육에서 진정한 과학교육으로 전환해야한다. 故 리처드 파인만[노벨물리학상 수상자,칼텍교수,양자전기역학 대가, 경로적분개척, 글쓴이가 탄복하는 클래스급 천재]이 브라질을 방문하고 엄청 놀랐다고한다. 사회전체가 수학,물리 등 과학교육에 대단한 열정을 보이는데 놀랐고, 더 놀랐던것은 파인만 자신이 기억하기에 브라질 출신 일류 물리학자는 당시 한명도 없었기 때문이였다고 한다. 한국도 딱 브라질 꼴이다. 그래서 한국은 아직 개도국인 것인가?

머리가 딸리는 건지 끈기가 딸리는 건지... 아마도 학문하는 방법을 모르는 모양이다.

 

  ㅇ 기존의 기하학적 접근
방정식을 단순한 점의 자취로 규정하는 한 기하적으로 접근해도 더이상 수학적으로 얻을 게 없어진다. 단순히 ? 직선만 덩그러니 외롭게 서있을 뿐이다.

 

 

 

 

ㅇ 벡터적 접근[패턴적 접근]

   . 좌표공간 상에 나타나는 직선방정식 ax+by=c의 패턴을 유심히 살펴보면, 우리가 크기와 방향을 가진 벡터를 정의하고 벡터간 곱[내적]을 정의했을때 나타나는 그 벡터내적과 패턴이 똑같다는 것을 알 수있다.

 

  . 직선방정식을 벡터의 내적으로 이해하지 말아야할 수학적 이유가 하나라도 있나?

     -> 전혀 없다

 

  . 벡터의 내적으로 접근해 보면, 직선이란 곧 고정된 한 벡터와의 내적이 일정한 벡터들을 모은 벡터공간[선형공간]임을 알 수있다. 두 벡터의 사이각이 커질수록 비례하여 x벡터의 크기가 일정하게 커지게 되여 x벡터의 집합은 직선을 이루게 된다.

 

 

 

 

  . 벡터들의 선형결합으로 접근 

    직선방정식[1차함수]이 여럿 모인 경우 우리는 연립방정식이라고 부르는데 오로지 변수의 차수가 1차로만된 선형 연립방정식만 생각해보자 

    a1x + b1y + c1z = d1

    a2x + b2y + c2z = d2 

    a3x + b3y + c3z = d3      

 

   여기서 각 방정식의 패턴이 유사하다는 점에 착안하여 우리가 수식에 어떤 공통인자가 있을 때 묶어내서 표현하는 방식으로 묶어내 보자. 물론 아직은 수학적으로 의미가 별로 없는 조작일 수있다. 왜 이런 조작을 하는지 도저히 못받아 들이겠다면, 그럼 모든 방정식의 좌변은 좌변끼리 더하고 우변은 우변끼리 더한다고 생각해보고 그때의 패턴을 어떤 새로운 수학적 조작으로 정의할 수 없는지 그때 조작이 수학적으로 의미가 있는지 찾아보라.

 

지금 우리는 연립방정식을 푸는 새로운 수학적 연산을 찾아보는 중이다. 보통 연립방정식때 푸는 변수 소거방식을 다른 차원에서 바라보고 새로운 수학적 해결책을 찾아 보자는 것이다.

 

 

 

 

위에서 x,y,z을 벡터가 아니라 계수로 다루는 것은 차원이 맞지않아 A,B,C,D[3차원]벡터와 벡터곱연산을 할수없어  x,y,z을 스칼라로 보는 것이다.

 

직관적 이해를 위해 다음 연립방정식을 벡터를 이용해서 계산할 수 있는지 알아보자.

 

 

 

 

결론 : 선형 연립방정식을 묶어서 방정식의 계수들을 벡터로 간주하고 우리가 구할려는 미지수들은 계수로 이해하면, 바로 선형결합[뒤에 기술]이 되여 연립방정식을 벡터로 취급하여 풀수 있음을 알수있다.

 

이제 선형대수[직선방정식]은 벡터와 밀접한 관계가 있음을 알았음으로, 벡터에 대한 이해가 곧 선형대수의 주 관심사항임을 알수있다. 또한 공통의 인자로 묶는다는 아이디어가 행렬과 관계가 있고 행렬이란, 패턴이 직선방정식 꼴이기만 하면 여럿을 하나로 묶어서 한번에 계산하겠다는 야심찬 의지의 발로임을 쪼금 느낄 수있을 것이다.

 

 

 

ㅇ 벡터공간의 이해

 

  . 벡터공간[선형공간]이란?

이미 우리는 무수히 벡터공간을 봐왔다. 흔히 쓰는 좌표평면[2D]이나 xyz공간[3D]이 대표적인 벡터 공간이기 때문이다.

 

직입적으로 말하면, 벡터공간이란 어느 공간의 원소들의 집합이 선형결합에 대해 닫혀있을 때의 그 원소들의 집합을 의미한다.

 

굳이 엄밀하게 정의된 벡터공간의 조건을 모두 언급할 필요는 없다고본다. 아래 정도면 충분할듯.

 

 

물론 이 최소한의 벡터공간조건 외에 벡터곱[내적,외적]등을 정의 할수도 있다. 위의 설명은 단지 벡터공간을 만족할 조건만 의미할 뿐이다.

 

기억했으면 하는것은, 벡터란게 물리량에만 존재하는게 아니라 우리가 크기와 방향을 갖는 어떤 값으로 해석하는한 어떤 순서쌍이라도 벡터로 다룰 수있다. 우리가 의미를 부여하는한, [개,고양이] 조합도 벡터가 될수있다. 단, 조건이 있다. 의미를 부여한다함은 어떤 순차적 [ordered]이랄까 대소비교가능성이랄까하는 질서를 부여해야하고. 그렇게 보면, 가장 엄밀히 질서가 부여된 것이 수체계임으로 결국 수체계로 수렴하게된다. 수학은 추상적여야지만, 인문학을 포함한 모든 분야에서 끌어다 쓸 수있는 것이다.

 

사실 벡터뿐아니라 덧셈이라는 연산도 엄청 심오한 뜻을 갖고 있는데... 필자의 수준에선 불감당하다. 버틀란트 러셀정도되야 한마디 할수있을까?

 

 

. 기저와 연립방정식의 해와의 관계

벡터공간을 이해하면 연립방정식의 해가 존재할 조건을 알수 있다.

 

연립방정식을 벡터의 선형결합으로 표현하면 AX=B인데 2x2행렬에서 방정식의 해가 존재할 조건으로 행렬의 행렬식[판정식] ad -bc가 0이 돼서는 안된다고 하는 이유는, 두벡터 [a,c] [b,d]가 동일직선상에 있으면 안되기 때문인데, 이를 벡터로 이해하면 두벡터의 사이각이 0여서는 안된다는 조건이 됨으로 벡터의 외적이 0이 아니다와 동치다.

 

 *벡터외적 : 간단히 설명하면 두벡터가 이루는 평면에 수직방향의  벡터로 크기는 두벡터가 이루는 평행사변형 면적이다. 물리에선 토크[회전력]이나 전자기 쪽에서 쓰인다.

 

물론 일반 행렬모두에 대한 것은 아니고,  2x2행렬일 때 그렇다는 것이다, 일반적으론 여인수전개로 행렬식을 구한다. 그러나 여인수전개도 벡터 외적에 의한 접근법으로 도출됐을 것이라는 것은 두말할 필요가 없을 것이다. 

 

같은 직선상에 있지 않는 두벡터[기저벡터]가 선형결합으로 만들 수있는 공간은 좌표평면공간 전체가 된다. 따라서 서로다른 벡터이면 그 연립방정식을 풀수있다는 의미가 된다.

 

이제 벡터를  더 들어가면 종속과 독립, 기저, 정규직교기저,그람슈미트직교기저화, 고유치와 고유벡터, 선형사상[일차변환]등을 다루게 되는데 이글 주제는 아니다. 다만 선형사상과 고유치/고유벡터는 아주 약간만 들렸다 가겠습니다.

 

. 선형사상[일차변환]
선형연립방정식 AX=B에서 우리는 X벡터 구하는 데 집중했는데 이제 중심을 B로 옮겨보자. 선형결합 AX에서 X값에 따라 B값이 어떻게 변하는지 살펴보자. 그때의 B벡터를 새로운 X벡터의 좌표로 이해하면, 선형사상[일차변환]이 되기 때문이다. 행렬 A를 함수같은 연산자로 생각할수도 있다.

 

. 고유치와 고유벡터

고유치와 고유벡터는 선형사상된 신좌표를 쉽게 구할 수없을까하는 생각이 발전하여 나온개념으로

선형변환의 특성을 결정하는  AX의 A가 특정좌표값을 입력하면 좌표가 회전하지 않고[방향변화없이] 오로지 원벡터의 크기에만 영향을 주는 그때의 벡터를 찾아 그걸 기준으로 임의의 좌표의 변환을 쉽게 찾아가는 길을 제공해 준다.

 

AV=λV로 두면, 고유치[λ,확대배율]와 고유벡터[V,방향변화가 없는 축같은 존재]를 구할 수있고 이걸이용해서 임의의 임의의 벡터 X의 신좌표를 쉽게 찾을수 있다. 

 

또한 고유치와 고유벡터는 행렬의 지수계산에도 이용된다.

 
ㅇ 더이상의 접근법은 없나? [깨름칙함에 대하여]
  . 과학에서의 깨름칙함이란  더 본질적인 내용이 남아있지만, 딱히 뭐라 설명못하는 미지의 세계가 있음을 막연히 느낀다고할까, 혹시 당신이 이런 깨름칙함을 느꼈다면 당신은 대단한 수학적 영감의 소유자가 틀림없을 듯하다.
  . 이 찝찝함을 해소하기 위해서 더 본질적인 접근법을 찾아보면 텐서가 나타날 것이다.
 
2. 선형 연립방정식과 행렬

   이제 대충 선형대수가 뭔지 알듯한 감을 가지고 순전히 수학적 테크닉이랄수 있는 행렬이 어떻게 선형대수에 적용될 수있는지 개념을 파헤쳐보자.

  ㅇ 선형연립방정식의 대수적 풀이와 행렬을 통한 풀이

고딩때 많이들 해봤듯이 1차 연립방정식을 푸는 정석은 방정식간 연산을 통해 미지수를 하나씩 줄여나가서 최종에는 하나의 미지수를 구하고 다시 거꾸로 줄인 방정식에 대입해서 푸는 식이다.

이런 고전적 풀이법을 가우스-조던 소거법이라고 하는듯하다.

 

그럼 우리가 해야할 일은, 위에서 예로 만든 선형연립방정식의 선형결합을 더 단순한 구조인 행렬로 추상화하고 그 행렬에 어떤 연산조작을 정의하여 고전적 연립방정식 풀이법을 도입할수 있기만 하면 된다.

 

 

 

결국 가우스-조던 소거법을 행렬에 도입할려면 행렬간 연산의 정의[행렬의 곱셈]가 필요하다. 선형대수에선 이렇게 방정식간 소거에 해당하는 연산을 하는 행렬을 E[elimination, 제거행렬,고딩과정에서 말하는 단위행렬이 아니다]이라 하는데 최종적인 목표는 행렬의 상부만 0이 아닌 원소로 형성되는 U[upper matrix,상삼각행렬]을 구하는 것이다. 

 

 

 

3. 행렬곱의 정의

헉, 곱셈정의하기 전에 행렬정의, 덧셈,뺄셈, 항등원, 결합법칙 등이 성립하는지 정해야 하지만, 이해가 어려운 부분은 아니니 건너뛰겠습니다.

 

이제 행렬곱 정의가 필요한 것은 알겠는데 밑도 끝도 없이 막무가내로 정의할수는 없고 어떻게 정의해야할까?

 

확실한건 어떻게 정의하든 간에 반드시 원래의 연립방정식 식으로 돌려 놓을 수 있어야한다. 수학자들은 연립방정식을 벡터로 표현할수있는 두가지 방법-벡터의 내적 또는 선형결합-중에서 벡터의 내적을 이용해서 주로 정의하고 있다. 

 

행벡터와 열벡터의 내적으로 일반적으로 정의한다.

 

 

 

 

내적이 가능할려면, 동일한 차원이여야함으로 앞 행렬의 열의 차원과 뒤 행렬의 행의 차원이 같아야 함을 알수있다. 이게 어디서 뚝 떨어진게 아니라 순수한 수학적 테크닉인 행렬을 원래 선형 연립방정식 꼴로 되돌리기가 가능하게 행렬곱을 정의했으므로  필연적 결과이다.

 

내적이 가능해야 함으로, 일반적으로 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다.  

 

약간 옆길로 새서, 수학에서 이런 경우가 많다고 느껴지는데, 어떤 구체적 사안의 해결책으로 어떤 추상적 개념을 정의하는 순간, 해당문제 해결 범위[구체성]는  떨어져 나가고 더 포괄적인 문제들을 해결하게 되는 상황이 전개된다. 추상성의 위력이라 하겠다.

 

이제 단순히 연립방정식 풀이의 대체 해결법을 떠나, 패턴의 문제로 연립방정식적 패턴꼴로 나타나는 모든 문제에 적용할 수있는 것이다. 패턴을 글쓴이가 주제넘게 설명하기엔 좀 버거운데... 

 

 

 ㅇ 다른 관점에서 행렬의 곱셈 보기

 

이제 관점을 달리해 행렬의 곱셈을 보더라도 원래의 패턴형태 즉, 선형 연립방정식 모양을 도출할수 있기만하면 곱셈을 그렇게 해석해도 된다는 점에서 곱셈정의를 여러 측면에서 살펴보자.

 
. 열벡터의 선형결합[Linear combinations of columns]

 

 

 

선행 행렬를  열벡터로 구성된 행렬로 보고 후위 행렬의 한 열을 골라서 선형결합시키면 결과 행렬의 하나의 열이 구해진다는 의미다. 더 중요한 의미는 열벡터 단위로 행렬곱을 조망할수 있게된다.

 

뒤에 연립방정식을 행렬곱을 이용해서 푸는 부분을 보면 이런 시각이 주는 강력한 잇점을 알수 있을 것이다. 

 

. 행벡터의 선형결합[Linear combinations of rows]

 

 

 

열벡터의 선형결합과 같은 논리로 이해할수 있다.

 

. 열벡터와 행벡터의 곱행렬들의 합

 

 

 

 마치 전체집합은 부분집합의 합인 것처럼 행렬을 부분행렬들의 합으로 해석할 수있다는 것이다. 이때의 부분행렬이란 행렬의 크기[m x n]가 전체행렬과 같은 경우를 말한다. 이렇게 새기면, 행렬곱은 부분행렬들의 곱으로 처리할수 있다. 행렬곱 정의에서 이미 내포된 개념이다. 

 

 

. 기타 다른 조합이 안되는 이유

더이상 원래의 선형연립방정식의 패턴모양을 얻을 수있는 조합법이 없기 때문이다.

 

///* 이글의 전반적 부분에 영향을 미쳤지만 특히 위의 3가지 다른 관점에서 본 행렬의 곱은 YOUTUBE.COM에 올라온 MIT공대의 선형대수[Linear Algebra, Strang교수]강의에서 들은 것으로, 역시 배울려면 일류에게 배워야 한다. 그래야 큰 관점에서 그 분야의 핵심개념을 조망해 보는 기회를 허튼 노력 들이지 않고 빠르게 가질 수있기 때문이다.

 

YOUTUBE에 널려있는 미국 일류대학의 강좌를 활용해 보자. 상상 이상의 지식 보고가 유투브라는 점 절감할 것이다.

 

물론 어느 정도 영어가 돼야겠지만, 자연과학이다보니 강의내용을 이해하는데는 생각보다 높은 영어 이해력을 요하지는 않는다.

 

특히 우리나라의 재능있는 고딩이라면 학교수준에서 도저히 납득할 수없는 의문을 해소하는 사교육의 장으로써 유투브를 활용해 보길 강력히 추천한다.

 

우리나라 인터넷에서 정보를 찾아봐야 대부분 찌질한 수준의 글들이다. 이 글도 마찬가지고///

 

 

4. 선형연립방정식의 행렬을 통한 풀이

이제 행렬곱을 정의했으므로, 일반 선형연립방정식 풀이법인 가우스-조던 소거법을 행렬에 적용하여 풀어보자.

 

먼저 행벡터의 선형결합과 열벡터의 선형결합을 어떻게 활용할 수있는지 살펴보자.

 

 

 

 

 

 

 

덧데여 설명하면, 임의의 하나의 행렬에 대한 조작을 행렬곱을 이용하여 할 수있다는 것이다. 행이나 열간 위치 바꾸기나 특정 행이나 열을 다른 열이나 행들의 곱이나 더하기 빼기로 설정 할 수도 있다.

휴~ 드디어 연립방정식을 풀기 위해 필요한 모든 것을 알았냈으니 진짜 적용해 보자.  

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 역행렬의 정의

 

 ㅇ 역행렬 정의의 필요성

행렬의 곱을 이용해 풀었지만 좀 더 쉽게 구할수 없을까를 궁리해본다면, 다음 수순은 필연적으로 역행렬이 될것이다. 실수에 대해 곱셈을 정의한후 나눗셈을 정의하듯이, 행렬계산을 쉽고 빠르게 할려면 나눗셈연산인 역행렬 정의가 필요해진다.

 

수식 ax=b에서 x를 구하기 위해 a의 역수 1/a을 양변에 곱해서 구하듯 AX=B에서 X를 구하기 위해 행렬 A의 역행렬을 양변해 곱해서 구할수 있도록 역행렬을 정의하면 이제 행렬을 대수적으로 깔끔하게 다룰수 있게된다.

 

 

 을 만족해야한다.

 

우선 항등행렬을 구해보면,

 

 

 

 

역행렬이 존재할 조건을 보면,

 

 

 

여기선 판별식의 일반적 풀이법인 여인수 전개를 설명하지 않는다. 글 주제가 아니다. 

 

예를 통해 역행렬을 어떻게 구할 수있는 지 알아보자. 

 

 

 

위 예는 역행렬이 왼쪽에 있을 때 성립했으므로, 역행렬이 오른쪽에 있을때의 역행렬을 구해 왼쪽 행렬과 일치하는지 확인해야겠지만, 알다시피 일치한다. 오른쪽에 역행렬이 있을때는 물론 열벡터의 선형결합을 이용해서 역행렬을 구해야할 것이다.

 

그런데 이런 식으로 역행렬을 구했다간 큰 행렬의 역행렬구할려면 몇날 며칠이 걸릴지 모르겠다. 그래서 수학자들이 팔을 걷어 부치고 나서  역행렬의 일반식을 구했다. 역행렬구하는 일반식에는 고딩때 배우는 2*2행렬의 역행렬식 마냥, 판별식과 수반행렬이 등장한다.

 

그렇치만, 큰 행렬은 결국 많은 산술적 계산을 요하게되여 말처럼 쉽게 되지 않는다. 다행히 컴퓨터시대다. 왜 선형대수가 시간이 갈수록 각광받는지 알수있다.

 

에휴~ 이쯤에서 접겠습니다. 지쳐서 더는 못하겠네요.

 

암튼 이제  선형대수가 뭔지 감을 잡는데 도움이 됐으면 이제 본격적으로 선형대수에 빠져보세요. 특히 고딩여러분. 

 

끝으로 선형대수에 대한 소감을 적는다면,

 

1. 수학이 왜 패턴을 연구하는 학문이지 조금 실감했다.

2. 수학이 왜 자유와 상상의 학문인지 조금 느꼈다.

 

 

 

 

출처 : Over Your Head

글쓴이 : 나수사 원글보기

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